程序设计 = 数据结构 + 算法

基本概念和术语

• 数据：是描述客观事物的符号，是计算机中可以操作的对象，是能被计算机识别，并输入给计算机处理的符号集合。如整型、实型等数值类型，还包括字符及声音、图像、视频等非数值类型。
• 数据元素：是组成数据的、有一定意义的基本单位，在计算机中通常作为整体处理，也被称为记录。
• 数据项：一个数据元素可以由若干个数据项组成，数据项就是数据不可分割的最小单位。
• 数据对象：是性质相同的数据元素的集合，是数据的子集。
• 结构：亦指关系，不同数据元素之间不是独立的，而是存在特定的关系，我们将这些关系称为结构。
• 数据结构：是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

逻辑结构与物理结构

我们把数据结构分为逻辑结构和物理结构，逻辑结构是面向问题的，而物理结构就是面向计算机的，其基本目标是将数据及其逻辑关系存储到计算机的内存中。 逻辑结构：是指数据对象中数据元素之间的相互关系。 逻辑结构分为四种：

• 集合结构：集合结构中的数据元素除了同属于一个集合外，他们之间没有其他关系。
• 线性结构：线性结构中的数据元素之间是一对一的关系。
• 树形结构：树形结构中的数据元素之间存在一种一对多的层次关系。
• 图形结构：图形结构的数据元素是多对多的关系。

物理结构：是指数据的逻辑结构在计算机中的存储形式。 数据元素的存储结构形式有两种，分别是顺序存储和链接存储：

• 顺序存储结构：是把数据元素存放在地址连续的存储单元里，其数据间的逻辑关系和物理关系是一致的（如数组）。
• 链式存储结构：是把数据元素存放在任意的存储单元里，这组存储单元可以是连续的，也可以是不连续的。此时数据元素的存储关系并不能反应其逻辑关系，因此需要用一个指针存放数据元素的地址，这样通过地址就可以找到相关联数据元素的位置。

抽象数据类型

数据类型：是指一组性质相同的值的集合及定义在此集合上的一些操作的总称。 抽象：是指抽取出事物具有的普遍性的本质。 抽象数据类型（Abstract Data Type, ADT）：是指一个数学模型及定义在该模型上的一组操作。一个抽象数据类型定义了：一个数据对象、数据对象中各数据元素之间的关系及对数据元素的操作。至于，一个数据类型到底需要哪些操作，这就只能由设计者根据实际需要来定。

算法的概念

算法：算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

算法具有五个基本特性：

1. 输入：算法具有零个或多个输入。
2. 输出：算法至少有一个或多个输出。
3. 有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接收的时间内完成。
4. 确定性：算法的每一步都具有确定的含义，不会出现二义性。
5. 可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说每一步都能够通过执行有限次数完成。

算法设计的要求：

• 正确性：指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
• 可读性：便于他人阅读，让人理解和交流。
• 健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。
• 时间效率高和存储量低

算法的 正确 分为四个层次：

1. 没有语法错误
2. 对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果
3. 对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果
4. 对于静心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果

我们把层次 3 作为一个算法是否正确的标准。

函数的渐进增长

函数的渐进增长：给定两个函数 f(n) 和 g(n)，如果存在一个整数 N，使得对于所有的 n > N，f(n) 总是比 g(n) 大，那么，我们说 f(n) 的增长渐进快于 g(n)。 通过分析函数的渐进增长，我们有如下推论：

• 与最高次项相乘的常数不重要
• 最高次项的指数对于函数的增长影响最大
• 推断一个算法的效率时，更应该关注最高阶项的阶数

算法的时间复杂度

在进行算法分析时，语句总的执行次数 T(n) 是关于问题规模 n 的函数，进而分析 T(n) 随 n 变化情况并确定 T(n) 的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间度量，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模 n 的增大，算法执行时间的增长率和 f(n) 的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中 f(n) 是问题规模 n 的某个函数。 这样用大写 O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。随着 n 的增大，T(n) 增长最慢的算法为最优算法。

推到大 O 阶方法

1. 用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶项存在且不是 1，则去除与这个项相乘的常数

得到的结果就是大 O 阶。 常见的时间复杂度：

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(n!) < O(nⁿ)
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除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

算法的空间复杂度

算法的空间复杂度是通过计算算法所需的存储空间实现，记作：S(n) = O(f(n))，其中，n 为问题的规模，f(n) 为语句关于 n 所占存储空间的函数。 若算法执行时间所需要的辅助空间相对于输入数据量而言是个常数，则称此算法为原地工作，空间复杂度为 O(1)。

对于算法的复杂度，一般是指时间复杂度。