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• 【总目录】
  • (1) 简介 Intro
  • (2) 傅里叶 Fourier
    • 常用函数的傅里叶变换汇总
  • (3) LTI 系统 与 滤波器
    • 二次抑制载波振幅调制接收系统 Python

二次抑制载波振幅调制接收系统

• 已知:
  输入信号:
  $f(t) = \displaystyle \frac{sin(t)}{\pi t} = \frac{\text{Sa(t)}}{\pi} , \; -\infty < t < \infty$
  调制信号:
  $s(t) = cos(500t) , \; -\infty <t<\infty$

• 问: 输出信号 $y(t) = ?$

• 下式说明:

  • $\text{Sa}(t)/\pi$ 为非周期, 使用 傅里叶变换分析法
  • 步骤 (详见):
    1. 从图中已知系统函数 $H(j\omega)= g_2$ 门宽为 $2$ ;
    2. 求输入信号 $f(t)$ 的傅里叶变换 $F(j\omega)$ ;
    3. 求调制信号的傅里叶变换 $S(j\omega)$ ;
    4. 求零状态响应 $y(t)$ 的傅里叶变换 $Y(j\omega)=F_b(j\omega)\cdot H(j\omega)$ ;
    5. 求 $Y (j\omega)$ 的傅里叶逆变换 $y(t)=\mathfrak{F} ^{-1}\big[F_b(j\omega)H(j\omega)\big]$ 。
  • 其中 $\delta$ 卷积特性 $\delta(k-k_1) \star \delta(k+k_2) = \delta(k-k_1+k_2)$
    • $g(\omega)$ 门函数特性 为 $0,\; \omega>1 \; \text{or}\; \omega<-1$

• 可知
  $H(j\omega) = g_2(\omega)$
  $\begin{aligned}f(t)= \frac{\text{Sa(t)}}{\pi} &\longleftrightarrow g_2(\omega)=F(j\omega) \\ s(t) = cos(500t) &\longleftrightarrow \pi \big[\delta(\omega+500)+\delta(\omega-500)\big]=S(j\omega)\end{aligned}$

  $\begin{aligned}y(t) & = f(t){\color{blue} \times} s(t){\color{blue} \times} s(t) \star h(t)\\ Y(j\omega) & = {\color{blue}\frac{1}{4 \pi^2}} F(j\omega) {\color{blue}\star} S(j\omega) {\color{blue}\star} S(j\omega) \cdot H(j\omega) \\ &= \frac{1}{4 \pi^2} g_2(\omega) {\color{blue}\star} \pi \big[\delta(\omega+500)+\delta(\omega-500)\big] {\color{blue}\star} \pi \big[\delta(\omega+500)+\delta(\omega-500)\big] \cdot H(j\omega) \\ &= \frac{1}{4 {\color{green}\pi^2}} g_2(\omega) {\color{blue}\star} {\color{green}\pi^2} \big[\delta(\omega+1000)+2\delta+\delta(\omega-1000)\big] \cdot H(j\omega) \\ &= \frac{1}{4} g_2(\omega) {\color{blue}\star} \big[\delta(\omega+1000)+2\delta+\delta(\omega-1000)\big] \cdot g_2(\omega) \\ &= \frac{1}{2}g_2(\omega)\\ y(t) & = \frac{Sa(t)}{2\pi} = \frac{1}{2}f(t) \end{aligned}$

    # 导入 需要的 library 库  
    import numpy as np # 科学计算
    import matplotlib.pyplot as plt # 画图工具
    import scipy.signal as sg # 导入 scipy 的 signal 库 重命名为 sg

    # 用 Python 表示 
    t = np.linspace(-4*np.pi,4*np.pi,1601) 
    def draw_graph(t,f,title): # 设置好绘图参数
        plt.plot(t,f,'-') 
        plt.xticks(t[::200],[fr'${int(i/np.pi)}\pi$'for i in t[::200]])
        plt.title(title)
        plt.grid(True)
        plt.show()

    ft = np.sin(t)/(np.pi*t)
    # 开始绘图
    draw_graph(t,ft,r'$f(t)$')

    st = np.cos(500*t)
    fat = ft*st
    # 开始绘图
    draw_graph(t,fat,r'$f_a(t)$')

    fbt = fat*st
    # 开始绘图
    draw_graph(t,fbt,r'$f_b(t)$')

$H(j\omega)=g_2(\omega) \longleftrightarrow \frac{\sin(t)}{t\pi} = \frac{\text{Sa}(t)}{\pi} = h(t)$

    ht = np.sin(t)/(t*np.pi)
    yt = sg.convolve(fbt,ht)*(np.pi/200) # 低通滤波器  
    draw_graph(t,yt[800:2401],r'$y(t)$')

• 为更清楚展示原理, 取 $s(t) =\cos(10t)$

    st = np.cos(10*t)
    fat2 = ft*st
    # 开始绘图
    draw_graph(t,fat2,r'$f_a(t),\; s(t) =\cos(10t)$')

    fbt2 = fat2*st
    # 开始绘图
    draw_graph(t,fbt2,r'$f_b(t),\; s(t) =\cos(10t)$')

    yt2 = sg.convolve(fbt2,ht)*(np.pi/200)
    # 开始绘图
    draw_graph(t,yt2[800:2401],r'$y(t),\; s(t) =\cos(10t)$')